Subcambio de tipo finito

En matemáticas, los subcambios del tipo finito están acostumbrados a sistemas dinámicos modelos, y en particular son los objetos de estudio en dinámica simbólica y teoría ergodic. También describen el juego de todas las secuencias posibles ejecutadas por una máquina estatal finita. Los espacios de cambio el más extensamente estudiados son los subcambios del tipo finito.

Definición

Let ser un juego finito de símbolos (alfabeto) y dejar a A ser una matriz de adyacencia con entradas en {0,1}. La utilización de estos elementos construimos un gráfico dirigido G = (V, E) con V el juego de vértices, el juego de bordes E definido con A. Let X ser el juego de todas las secuencias admisibles infinitas de bordes, donde por el admisible se supone que la secuencia es un paseo del gráfico. Let T ser el operador de cambio en esta secuencia; desempeña el papel del operador de evolución del tiempo del sistema dinámico. El subcambio del tipo finito se define entonces como el par (X, T). Si la secuencia se extiende al infinidad en sólo una dirección, se llama un subcambio unilateral del tipo finito, y si es bilateral, se llama un subcambio dos colindado del tipo finito.

Formalmente, uno puede definir la secuencia de bordes como

:

x_j \in V, A_ {x_ {j} x_ {j+1}} =1, j\in\mathbb {N} \right\}. </matemáticas>

Esto es el espacio de todas las secuencias de símbolos tales que el símbolo p puede ser seguido del símbolo q sólo si el (p, q) la entrada de la matriz A es 1. El espacio de todas las secuencias bi-infinite se define análogamente:

:

x_j \in V, A_ {x_ {j} x_ {j+1}} =1, j\in\mathbb {Z} \right\}. </matemáticas>

El operador de cambio T traza un mapa de una secuencia en el una - o cambio dos colindado al otro cambiando todos los símbolos a la izquierda, es decir.

:

Claramente este mapa sólo es invertible en caso del cambio dos colindado.

Se llama un subcambio del tipo finito transitivo si hay una secuencia de bordes de algún vértice a algún otro vértice. Son subcambios exactamente transitivos del tipo finito que equivalen a sistemas dinámicos con órbitas que son densas.

Un caso especial importante es el n-cambio lleno: tiene un gráfico con un borde que une cada vértice con cada otro vértice; es decir todas las entradas de la matriz de adyacencia son 1. El n-cambio lleno equivale al esquema de Bernoulli sin la medida.

Terminología

Según la convención, se entiende que el término el cambio se refiere al n-cambio lleno. Un subcambio es entonces cualquier subespacio del cambio lleno que es shift-invariant (es decir un subespacio que es invariante bajo la acción del operador de cambio), no vacío, y cerrado para la topología del producto definida abajo. Algunos subcambios pueden ser caracterizados por una matriz de transición, como encima; tales subcambios se llaman entonces subcambios del tipo finito. A menudo, esta distinción se relaja, y los subcambios del tipo finito se llaman simplemente cambios del tipo finito. Los subcambios del tipo finito también a veces se llaman cambios de Markov topológicos.

Generalizaciones

Un sistema sofic es un subcambio del tipo finito donde los bordes diferentes del gráfico de transición pueden equivaler al mismo símbolo.

Un sistema de renovación se define para ser el juego de todos los encadenamientos infinitos de un juego finito de palabras finitas.

Los subcambios del tipo finito son idénticos a modelos Potts de una dimensión libres (que se no relacionan) (las generalizaciones de la n-carta de los modelos Ising), con ciertas configuraciones más cercanas y vecinas excluidas. Los modelos Interacting Ising se definen como subcambios juntos con una función continua del espacio de la configuración (continuo con respecto a la topología del producto, definida abajo); la función de partición y hamiltoniano es explícitamente expresable en términos de esta función.

Los subcambios se pueden cuantificar de cierto modo, llevando a la idea del quántum autómatas finitos.

Topología

El subcambio del tipo finito tiene una topología natural, sacada de la topología del producto en, donde

:

x_k \in V \; \forall k \in \mathbb {Z} \} </matemáticas>

La base para la topología del cambio del tipo finito es los juegos del cilindro

:

x_t = a_0, \ldots, x_ {t+s} = a_s \} </matemáticas>

Los juegos del cilindro son juegos de clopen. Cada juego abierto en el subcambio del tipo finito es una unión contable de juegos del cilindro. En particular, el cambio T es un homeomorphism; es decir es continuo con respecto a esta topología.

Métrico

Una variedad de la métrica diferente se puede definir en un espacio de cambio. Uno puede definir un métrico en un espacio de cambio pensando dos puntos estar "cerca" si tienen muchos símbolos iniciales en común; esto es el métrico p-adic. De hecho, tanto el un - como espacios de cambio dos colindados son el espacio métrico compacto.

Medida

Un subcambio del tipo finito se puede dotar de cualquiera de varias medidas diferentes, así llevando a un sistema dinámico que conserva la medida. Un objeto común del estudio es la medida de Markov, que es una extensión de una cadena de Markov a la topología del cambio.

Una cadena de Markov es un par (P, π) consistiendo en la matriz de transición, una matriz para cual todos y

:

para todo yo. El vector de probabilidad inmóvil tiene todos y tiene

:.

Se dice que una cadena de Markov, como definido encima, es compatible con el cambio del tipo finito si siempre que. La medida de Markov de un juego del cilindro puede ser definida entonces por

:

La entropía de Kolmogorov-Sinaí con la relación a la medida de Markov es

:

Véase también



Buscar