C*-algebra

C*-algebras (pronunciado "la C-estrella") son un área importante de la investigación en el análisis funcional, una rama de matemáticas. El ejemplo prototípico de C*-algebra es un álgebra compleja un de operadores lineales en un Espacio de Hilbert complejo con dos propiedades adicionales:

Se cree generalmente que C*-algebras se consideraron primero principalmente para su uso en la mecánica cuántica a álgebras modelas de observables físico. Esta línea de la investigación comenzó con la mecánica de la matriz de Werner Heisenberg y en una forma más matemáticamente desarrollada con Pascual Jordan alrededor de 1933. Posteriormente John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras que culminaron en una serie de papeles sobre anillos de operadores. Estos papeles consideraron una clase especial de C*-algebras que se conocen ahora como álgebras de von Neumann.

Alrededor de 1943, el trabajo de Israel Gelfand y Mark Naimark cedió un extracto characterisation de C*-algebras no hacer ninguna referencia a operadores.

C*-algebras son ahora un instrumento importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos en la localidad compactos y también se usan en formulaciones algebraicas de la mecánica cuántica. Otra área activa de la investigación es el programa para obtener la clasificación o determinar el grado del cual la clasificación es posible, para el separable simple nuclear C*-algebras.

Caracterización abstracta

Comenzamos con la caracterización abstracta de C*-algebras dado en el artículo de 1943 de Gelfand y Naimark.

C*-algebra, A, está un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos, juntos con un mapa, *: UnA, llamado una involución. La imagen de un elemento x de un bajo la involución se escribe x*. La involución tiene las propiedades siguientes:

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El:Note al cual la identidad de C* es equivalente: para todo x en A:

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Esta relación es equivalente a, que a veces se llama el B*-identity. En la historia detrás de los nombres c*-y B*-algebras, ver la sección abajo.

C*-identity es un requisito muy fuerte. Por ejemplo, juntos con la fórmula del radio espectral, implica C*-norm es únicamente determinado por la estructura algebraica:

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Un mapa lineal saltado, π: se llama unB, entre C*-algebras A y B un *-homomorphism si

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En caso de C*-algebras, cualquiera *-homomorphism π entre C*-algebras es no expansivo, es decir saltó con la norma ≤ 1. Además, un injective *-homomorphism entre C*-algebras es isométrico. Éstas son consecuencias del C*-identity.

Se llama un bijective *-homomorphism π un C*-isomorphism, en cuyo caso se dice que A y B son isomorphic.

Un poco de historia: B*-algebras y C*-algebras

El término - el álgebra fue introducida por C. E. Rickart en 1946 para describir Banach *-algebras que satisfacen la condición:

Esta condición automáticamente implica que *-involution es isométrico, es decir. De ahí, y por lo tanto, un - el álgebra también es un - álgebra. A la inversa, el - la condición implica el - condición. Esto es no trivial, y se puede probar sin usar la condición.

Por estos motivos, el término - el álgebra raramente se usa en la terminología corriente y ha sido sustituida por el término 'álgebra'.

El término - el álgebra se introdujo por es decir. Segal en 1947 para describir subálgebras cerradas por la norma de, a saber, el espacio de operadores saltados en algún Espacio de Hilbert. 'C' admitió 'el cerrado'.

Ejemplos

De dimensión finita C*-algebras

El M del álgebra (C) de n-by-n matrices sobre C se hace un C*-algebra si consideramos matrices como operadores en el espacio Euclidiano, C, y usamos la norma del operador ||. || en matrices. Dan la involución por el conjugado transportan. Más generalmente, uno puede considerar sumas directas finitas de álgebras de la matriz. De hecho, todos C*-algebras que son de dimensión finita como espacios vectoriales son de esta forma, hasta el isomorfismo. Los medios del requisito self-adjoint de dimensión finita C*-algebras son semisimples, de cual hecho uno puede deducir el teorema siguiente del tipo de Artin-Wedderburn:

Teorema. Un de dimensión finita C*-algebra, A, es canónicamente isomorphic a una suma directa finita

:

donde el minuto A es el juego de proyecciones centrales self-adjoint distintas a cero mínimas de A.

Cada uno C*-algebra, Ae, es isomorphic (de un modo no canónico) al álgebra de la matriz llena M (C). El

familia finita puesta índice durante minuto Un dado por {débil (e) }\

se llama el vector de la dimensión de A. Este vector únicamente determina la clase de isomorfismo de un de dimensión finita C*-algebra. En la lengua de K-teoría, este vector es el cono positivo del grupo K de A.

Una generalización inmediata del de dimensión finita C*-algebras es el aproximadamente de dimensión finita C*-algebras.

C*-algebras de operadores

El ejemplo prototípico de C*-algebra es el álgebra B (H) del saltado (equivalentemente continuo) operadores lineales definidos en un Espacio de Hilbert complejo H; aquí el x* denota al operador adjoint del operador x: HH. De hecho, cada C*-algebra, A, es *-isomorphic al subálgebra cerrada de adjoint cerrado por la norma de B (H) para un Espacio de Hilbert conveniente, H; esto es el contenido del teorema Gelfand–Naimark.

C*-algebras de operadores compactos

Deje a H ser un Espacio de Hilbert de dimensión infinita separable. El álgebra K (H) de operadores compactos en H es el subálgebra cerrada de una norma de B (H). También se cierra bajo la involución; de ahí es un C*-algebra.

El hormigón C*-algebras de operadores compactos admite una caracterización similar al teorema de Wedderburn para el de dimensión finita C*-algebras.

Teorema. Si A es un C*-subalgebra de K (H), entonces allí existe espacios de Hilbert {H} tal que A es isomorphic a la suma directa siguiente

:

donde la suma directa (C*-) consiste en elementos (T) del producto Cartesiano Π K (H) con || T → 0.

Aunque K (H) no tenga un elemento de identidad, una identidad aproximada secuencial para K (H) se puede fácilmente mostrar. Para ser específico, el H es isomorphic al espacio de cuadrado summable secuencias l; podemos asumir esto

:

Para cada número natural los n dejan a H ser el subespacio de secuencias de l que desaparecen para índices

:

y deje

a

:

esté la proyección ortogonal en H. La secuencia {e} es una identidad aproximada para K (H).

K (el H) es un ideal cerrado dos colindado de B (H). Para espacios de Hilbert separables, es el ideal único. El cociente de B (H) por K (H) es el álgebra de Calkin.

Conmutativo C*-algebras

Deje X ser un espacio de Hausdorff en la localidad compacto. El espacio C de (X) de funciones continuas valoradas al complejo en X que desaparecen en el infinidad (definido en el artículo sobre la compacticidad local) forma un conmutativo C*-algebra C (X) bajo multiplicación pointwise y adición. La involución es la conjugación pointwise. C (X) tiene un elemento de la unidad multiplicative si y sólo si X es compacto. Como hace cualquiera C*-algebra, C (X) tiene una identidad aproximada.

En caso de C (X) esto es inmediato: considere que el juego dirigido de subconjuntos compactos de X, y para cada K compacto dejó a f ser una función del apoyo compacto que es idénticamente 1 en K. Tales funciones existen por el teorema de extensión de Tietze que se aplica para comprimir en la localidad espacios de Hausdorff. {El f} es una identidad aproximada.

La representación Gelfand declara que cada conmutativo C*-algebra es *-isomorphic al álgebra C (X), donde X es el espacio de caracteres equipados con la topología weak*. Además si C (X) es isomorphic a C (Y) como C*-algebras, resulta que X y Y son homeomorphic. Esta caracterización es una de las motivaciones para la topología no conmutativa y programas de la geometría no conmutativos.

C*-enveloping álgebra

Considerando Banach *-algebra un con una identidad aproximada, hay un único (hasta C*-isomorphism) C*-algebra E (A) y *-morphism π de un en E (A) que es universal, es decir cada otro continuo *-morphism factores únicamente a través de π. El álgebra E (A) se llama el C*-enveloping el álgebra de Banach *-algebra A.

De la particular importancia es el C*-algebra de un grupo en la localidad compacto G. Esto se define como el envolvimiento C*-algebra del álgebra del grupo de G. C*-algebra de G provee contexto para el análisis armónico general de G en el caso el G es non-abelian. En particular, el dual de un grupo en la localidad compacto se define para ser el espacio ideal primitivo del grupo C*-algebra. Ver el espectro de un C*-algebra.

álgebras de von Neumann

las álgebras de von Neumann, conocidas como álgebras de W* antes de los años 1960, son una clase especial de C*-algebra. Se requiere que se cierren en la topología del operador débil, que es más débil que la topología de la norma.

El teorema de Sherman-Takeda implica que cualquier álgebra de C* tiene un envolvimiento universal álgebra de W*, tal que cualquier homomorphism a unos factores del álgebra de W* a través de él.

Propiedades de C*-algebras

C*-algebras tenga un gran número de propiedades que son técnicamente convenientes. Estas propiedades se pueden establecer usando el cálculo funcional continuo o por la reducción al conmutativo C*-algebras. En el caso último, podemos usar el hecho que la estructura de éstos es completamente determinada por el isomorfismo de Gelfand.

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: Por si A sea separable, A tiene una identidad aproximada secuencial. Más generalmente, A tendrá una identidad aproximada secuencial si y sólo si A contiene un elemento estrictamente positivo, es decir un elemento positivo h tal que hAh es denso en A.

Escriba a máquina para C*-algebras

C*-algebra A es del tipo I si y sólo si para todas las representaciones no degeneradas π del álgebra de von Neumann π (A) ′′ (es decir el bicommutant de π (A)) es un tipo I álgebra de von Neumann. De hecho es suficiente sólo considerar representaciones del factor, es decir representaciones π para cual π (A) ′′ es un factor.

Se dice que un grupo en la localidad compacto es del tipo I si y sólo si su grupo C*-algebra es el tipo I.

Sin embargo, si C*-algebra tiene representaciones del no tipo I, entonces por resultados de James Glimm también tiene representaciones del tipo II y el tipo III. Así para grupos C*-algebras y en la localidad compactos, sólo es significativo para hablar del tipo I y no propiedades del tipo I.

C*-algebras y teoría del campo cuántica

En la mecánica cuántica, uno típicamente describe un sistema físico con un C*-algebra un con el elemento de la unidad; piensan de los elementos self-adjoint de un (elementos x con x* = x) como el observables, las cantidades mensurables, del sistema. Un estado del sistema se define como un funcional positivo en un (un C-linear trazan un mapa de φ: UnC con φ (u* u) ≥ 0 para todo u∈A) tal que φ (1) = 1. El valor esperado de x observable, si el sistema está en el estado φ, es entonces φ (x).

Esto C*-algebra se acerca se usa en Haag-Kastler axiomatization de la teoría del campo cuántica local, donde cada juego abierto de Minkowski spacetime tiene que ver con un C*-algebra.

Véase también

Notas



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